2022山形県立高校入試問題(数学第四問)

数学第4問は図形問題です。今年は「相似」が出ましたね。

1の証明と2(1)まで解きたい。2(2)は難問でした。

１<証明>

△ＡＢＣと△ＡＨＥにおいて

線分ＡＢを直径とする円Ｏを考えると、半円の弧に対する円周角は等しいから、

∠ＡＣＢ=∠ＡＥＨ　…　①

ＯＣ//ＡＤで、錯覚は等しいから

∠ＨＡＥ＝∠ＯＣＡ　…　②

△ＯＣＡはＯＡ＝ＯＣの二等辺三角形だから

∠ＢＡＣ＝∠ＯＣＡ　…　③

②、③より、

∠ＢＡＣ＝∠ＨＡＥ　…　④

①、④より、2組の角がそれぞれ等しいので

△ＡＢＣ∽△ＡＨＥ

２(１)　ＡＢ＝９㎝、ＢＣ＝３㎝だから

△ＡＢＣは直角三角形なので、三平方の定理より

ＡＢ2　＝　ＢＣ2　＋　ＡＣ2

81　＝　9　＋　ＡＣ2

ＡＣ2　＝　81　－9

ＡＣ2　＝　72

ＡＣ　＝　6√2

さらに、１の証明より△ＡＢＣ∽△ＡＨＥを利用する。

△ＡＨＥ∽△ＡＣＤなので、よって△ＡＢＣ∽△ＡＣＤ

この２つの三角形の相似比より

ＡＢ　：　ＡＣ　＝　ＢＣ　：　ＣＤ

９　　：　6√2　＝　３　：　ＣＤ

９ＣＤ　＝　18√2

ＣＤ　＝　2√2

(2)　　△ＡＣＤは直角三角形なので、三平方の定理を利用。

ＡＣ2　＝　ＣＤ2　＋　ＡＤ2

72　＝　8　＋　ＡＤ2

ＡＤ2　＝　72　－　8

ＡＤ2　＝　64

ＡＤ　＝　8

仮定よりＡＦ：ＦＤ＝5：3なので、ＡＦ＝5、ＦＤ＝3である。

ＧＩに着目した時に、ＧＩを含む三角形などの図形はないかと考えると、

△ＧＩＣ　∽　△ＧＦＡ　がみつかる。

ＡＦ＝５はわかっているが、その辺に対応するＩＣはまだわからないし、

ＩＧやＧＦもわからないので、別の図形で考える。

△ＯＢＪ　∽　△ＡＢＥ　に着目すると、

ＯＢ　：　ＡＢ　＝　１　：　２　より

ＢＪ　：　ＢＥ　＝　１　：　２　だから　ＢＪ　：　ＪＥ　＝　１　：　１

ＣＤ　＝　ＪＥ　＝　2√2　より　ＢＪ　＝　2√2

△ＯＢＪは直角三角形なので、三平方の定理より

ＯＢ2　＝　ＯＪ2　＋　ＢＪ2

ＯＪ2　＝　ＯＢ2　－　ＢＪ2

ＯＪ　＝　7／2

ＯＪ　：　ＡＥ　＝　１　：　２

7／2　：　ＡＥ　＝　１　：　２

ＡＥ　＝　7

ＡＤ　＝　ＡＥ　＋　ＥＤより

8　＝　7　＋　ＥＤ

ＥＤ　＝　１

ＦＤ　＝　３　より　ＦＥ　＝　ＦＤ　－　ＥＤ

ＦＥ　＝　３　－　１　＝　２

△ＦＥＢは直角三角形なので、三平方の定理より

ＢＦ2　＝　ＦＥ2　＋　ＢＥ2

ＢＦ2　＝　4　＋　32

ＢＦ2　＝　36

ＢＦ　＝　6

次に、△ＢＥＦ　∽　△ＢＪＩ　に着目すると、

ＢＪ　：　ＢＥ　＝　１　：　２　より

ＢＩ　：　ＢＦ　＝　１　：　２

ＢＩ　：　６　＝　１　：　２

ＢＩ　＝　３　したがって　ＩＦ　＝　３

同様に、ＩＪ　：　ＦＥ　＝　１　：　２　で、ＩＪ　＝　１　となる。

ＪＣ　＝　ＥＤ　＝　１　なので、ＩＣ　＝　ＩＪ　＋　ＪＣ　＝　１　＋　１　＝　２

再び、△ＧＩＣ　∽　△ＧＦＡに着目すると

ＩＣ　：　ＦＡ　＝　２　：　５　より

ＧＩ　：　ＧＦ　＝　２　：　５

ＩＦ　＝　３　より

ＧＩ　＝　ＩＦ　×　２／７

＝　３　×　２／７

＝　６／７

以上です。